Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1，M是底面BC邊上的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC₁上的點(diǎn)，且CN＝2C₁N.

（Ⅰ）求二面角B₁－AM－N的平面角的余弦值；

（Ⅱ）求點(diǎn)B₁到平面AMN的距離。

Answer 1

解法1：（Ⅰ）因?yàn)镸是底面BC邊上的中點(diǎn)，所以AMBC，又AMCC₁,所以AM面BCC₁B₁，從而AM⊥B₁M, AMNM，所以∠B₁MN為二面角，B₁-AM-N的平面角。又,,

            連B₁N，得，

在B₁MN中，由余弦定理得。故所求二面角B₁-AM-N的平面角的余弦值為。

（Ⅱ）過B₁在面BCC₁B₁內(nèi)作直線B₁H⊥MN，H為垂足。又AM⊥平面BCC₁B₁，所以AMB₁H。于是B₁H平面AMN，故B₁H即為B₁到平面AMN的距離。在R₁△B₁HM中，B₁H＝B₁MsinB₁MH=。故點(diǎn)B₁到平面AMN的距離為1。

解法2：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B₁（0，0，1），M（0，，0）,

C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，

所以， 。

因?yàn)?sub>

所以,同法可得。

故為二面角B₁-AM-N的平面角

∴

故所求二面角B₁-AM-N的平面角的余弦值為。

（Ⅱ）設(shè)為平面AMN的一個(gè)法向量，則由得

 

故可取

設(shè)與的夾角為，則。

所以B₁到平面AMN的距離為。