Question

如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點(diǎn).

(Ⅰ) 求證：平面；

(Ⅱ) 求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)證明見(jiàn)解析(2) －

解析:

（Ⅰ）由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．

建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則, ．

由M為PB中點(diǎn)，∴．

∴．

∴，

．

∴PA⊥DM，PA⊥DC．   ∴PA⊥平面DMC．   

（Ⅱ）)．令平面BMC的法向量，

則，從而x+z=0；  ……①,  ，從而． ……②

由①、②，取x=??1，則．   ∴可取．

由(II)知平面CDM的法向量可取，

∴． ∴所求二面角的余弦值為－．