Question

（本小題12分）如圖，四棱錐中，
側面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點.
(1)求與底面所成角的大��；
(2)求證：平面；
(3)求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)取DC的中點O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．
又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．
連結OA，則OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA與底面所成角．
∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP=．
∴∠PAO=45°．∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°．             
(2)由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．
建立空間直角坐標系如圖，則, ．
由M為PB中點，∴．
∴．
∴，
．
∴PA⊥DM，PA⊥DC．  ∴PA⊥平面DMC．                          
(3)．令平面BMC的法向量，
則，從而x+z=0； ……①, ，從而． ……②
由①、②，取x=?1，則．  ∴可取．
由(2)知平面CDM的法向量可取，
∴． ∴所求二面角的余弦值為－．
法二：（1）方法同上                              
（2）取的中點，連接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，則，又，則，即，
又在中，中位線，，則，則四邊形為，所以，在中，，則，故而，
則
（3）由（2）知，則為二面角的平面角，在中，易得，，
故，所求二面角的余弦值為

解析