Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于軸上方的，兩點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）（�。┣笾本�的斜率；

（ⅱ）設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線上有一點(diǎn)在的外接圓上，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 離心率;(2) ,.

【解析】分析：(1)由得，化為，從而可得結(jié)果；(2) (i)由(1)可設(shè)圓的方程可寫，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立，結(jié)合點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)可得，，從而可得結(jié)果；(ii)由(i)可知

當(dāng)時(shí)，得，由已知得，求出外接圓方程與直線的方程，聯(lián)立可得結(jié)果.

詳解：(1)由得，

從而

整理，得，

故離心率

(2) 解法一：(i)由（I）得，所以橢圓的方程可寫

設(shè)直線AB的方程為，即.

由已知設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組

消去y整理，得.

依題意，

而 ①

②w

由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以

③

聯(lián)立①③解得 ，

將代入②中，解得.

解法二：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，帶入橢圓方程

消去，解得 解出

(依照解法一酌情給分)

(ii)由(i)可知

當(dāng)時(shí)，得，由已知得.

線段的垂直平分線l的方程為

直線l與x軸的交點(diǎn)是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.

直線的方程為，于是點(diǎn)H（m，n）的坐標(biāo)滿足方程組

，

由解得故