Question

已知圓N：（x+2）²+y²=8和拋物線C：y²=2x，圓N的切線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（I）當(dāng)直線Z酌斜率為1時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)；
（II）設(shè)點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線y=x對(duì)稱，問(wèn)是否存在直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓N：（x+2）²+y²=8，知圓心N為（-2，0），半徑r=2，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)l的方程為y=x+m，由直線l是圓N的切線，知，解得直線l的方程為y=x-2，由此能求出弦長(zhǎng)|AB|．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由直線l是圓N的切線，得，解得此時(shí)直線l的方程為y=-x+2；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=2-2，則得不成立．綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為y=-x+2．
解答：解：（1）∵圓N：（x+2）²+y²=8，
∴圓心N為（-2，0），半徑r=2，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，設(shè)l的方程為y=x+m，即x-y+m=0，
∵直線l是圓N的切線，∴，
解得m=-2，或m=6（舍去）
此時(shí)直線l的方程為y=x-2，
由，消去x得y²-2y-4=0，
∴△=（-2）²+16=20＞0，
y₁+y₂=2，y₁•y₂=4，
，
∴弦長(zhǎng)|AB|=．
（2）（i）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，即kx-y+m=0（k≠0），
∵直線l是圓N的切線，∴，
得m²-4k²-4mk-8=0，①
由，消去x得ky²-2y+2m=0，
∴△=4-4k×2m＞0，即km＜且k≠0，
，，
∵點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線y=x對(duì)稱，∴N（0，-2），
∴，，
∵，∴x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=0，
將A，B在直線y=kx+m上代入并化簡(jiǎn)，得
，
代入，，
得，
化簡(jiǎn)，得m²+4k²+2mk+4k=0，②
①+②得2m²-2mk+4k-8=0，
即（m-2）（m-k+2）=0，
解得m=2，或m=k-2．
當(dāng)m=2時(shí)，代入①，解得k=-1，滿足條件，且k≠0，
此時(shí)直線l的方程為y=-x+2．
當(dāng)m=k-2時(shí)，代入①整理，得7k²-4k+4=0，無(wú)解．
（ii）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
因?yàn)橹本�l是圓N的切線，所以l的方程為x=2-2．
則得，y₁+y₂=0，
，
即，
由①得：
=x₁x₂+y₁y₂+2（y₁+y₂）+4
=20-12≠0，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不成立．
綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為y=-x+2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線段長(zhǎng)的求法，探索直線是否存在，具體涉及到圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、拋物線的性質(zhì)及其應(yīng)用、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．