Question

已知圓N：（x+2）²+y²=8和拋物線C：y²=2x，圓的切線l與拋物線C交于不同的兩點A，B，
（1）當(dāng)直線l的斜率為1時，求線段AB的長；
（2）設(shè)點M和點N關(guān)于直線y=x對稱，問是否存在直線l使得？若存在

MA

⊥

MB

，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）圓N的圓心N為（-2，0），半徑r=2

2

，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)l的方程，利用直線l是圓N的切線，求得m的值，從而可得直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，即可計算弦長|AB|；
（2）設(shè)直線l的方程，利用直線l是圓N的切線，可得直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用

MA

⊥

MB

，可得m的值，從而可得直線l的方程；當(dāng)直線l的斜率不存在時

MA

⊥

MB

不成立．

解答：解：因為圓N：（x+2）²+y²=8，所以圓心N為（-2，0），半徑r=2

2

，…（1分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）當(dāng)直線l的斜率為1時，設(shè)l的方程為y=x+m即x-y+m=0
因為直線l是圓N的切線，所以

|-2+m|

2

=2

2

，解得m=-2或m=6（舍），此時直線l的方程為y=x-2，…（3分）
由

y=x-2 y2=2x

消去x得y²-2y-4=0，
所以△＞0，y₁+y₂=2，y₁y₂=4，…（4分）
所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=20
所以弦長|AB|=

1+ 1 k2

•|y1-y2|=2

10

…（6分）
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m即kx-y+m=0（k≠0）
因為直線l是圓N的切線，所以

|-2k+m|

1+k2

=2

2

，得m²-4k²-4mk-8=0…①…（8分）
由

y=kx+m y2=2x

消去x得 ky²-2y+2m=0，
所以△=4-4k×2m＞0即km＜

1

2

且k≠0，y1+y2=

2

k

，y1y2=

2m

k

．
因為點M和點N關(guān)于直線y=x對稱，所以點M為（0，-2）
所以

MA

=(x1，y1+2)，

MB

=(x2，y2+2)，
因為

MA

⊥

MB

，所以

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=0…（10分）
將A，B在直線y=kx+m上代入化簡得(1+k2)y1y2+(2k2-m)(y1+y2)+m2+4k2=0
代入y1+y2=

2

k

，y1y2=

2m

k

得(1+k2)•

2m

k

+(2k2-m)•

2

k

+m2+4k2=0
化簡得 m²+4k²+2mk+4k=0…②
①+②得 2m²-2mk+4k-8=0，即（m-2）（m-k+2）=0，解得m=2或m=k-2
當(dāng)m=2時，代入①解得k=-1，滿足條件km＜

1

2

且k≠0，此時直線l的方程為y=-x+2；
當(dāng)m=k-2時，代入①整理得 7k²-4k+4=0，無解．…（12分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時，因為直線l是圓N的切線，所以l的方程為x=2

2

-2，
則得x1x2=4(3-2

2

)，y₁+y₂=0，(y1y2)2=4x1x2=16(3-2

2

)即y1y2=4(1-

2)

＜0
由①得：

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）
=x1x2+y1y2+2(y1+y2)+4=20-12

2

≠0
當(dāng)直線l的斜率不存在時

MA

⊥

MB

不成立．
綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為y=-x+2…（14分）
另解：
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+a即x-my-a=0（m必存在）
因為直線l是圓N的切線，所以

|-2-a|

1+m2

=2

2

，得a²+4a-8m²-4=0…①…（8分）
由

x=my+a y2=2x

消去x得 y²-2my-2a=0，
所以△=4m²+8a＞0即m²+2a＞0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a．…（10分）
因為點M和點N關(guān)于直線y=x對稱，所以點M為（0，-2）
所以

MA

=(x1，y1+2)，

MB

=(x2，y2+2)，
因為

MA

⊥

MB

，所以

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=0
將A，B在直線x=my+a上代入化簡得(1+m2)y1y2+(am+2)(y1+y2)+a2+4=0…（12分）
代入y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a得（1+m²）（-2a）+（am+2）（2m）+a²+4=0
化簡得 a-2a+4m+4=0…②
①+②得 2a²+2a-8m²+4m=0，即（a+2m）（a-2m+1）=0，解得a=-2m或a=2m-1
當(dāng)a=-2m時，代入①解得m=-1，a=2，滿足條件m²+2a＞0；
當(dāng)a=2m-1時，代入①整理得 4m²-4m+7=0，無解．
綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為y=-x+2…（14分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查弦長的計算，考查韋達定理的運用，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，正確運用韋達定理．