Question

（1）設(shè)數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，S_n是它的前n項(xiàng)和，證明：數(shù)列{S_n}不是等比數(shù)列．
（2）已知f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1），證明：方程f（x）=0沒有負(fù)根．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列，則S₂²=S₁S₃，利用等比數(shù)列的求和公式可求q，結(jié)合等比數(shù)列的公比性質(zhì)可判斷，推出矛盾；
（2）假設(shè)f（x）=0 有負(fù)根 x₀，即 f（x₀）=0得到ax0=-

x0-2

x0+1

，再由a＞1和x₀＜0，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出ax0，列出不等式組，由二次不等式和分式不等式的解法求x₀的范圍，與x₀＜0矛盾．

解答：證明：（1）假設(shè)數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列，則S₂²=S₁S₃，
即a₁²（1+q）²=a₁•a₁（1+q+q²），
∵a₁≠0，∴（1+q）²=1+q+q²，即q=0，這與公比q≠0矛盾，
∴數(shù)列{S_n}不是等比數(shù)列．
（2）假設(shè)f（x）=0 有負(fù)根 x₀，且 x₀≠-1，
即 f（x₀）=0，則ax0=-

x0-2

x0+1

，
∵a＞1，x₀＜0，∴0＜ax0＜1，
∴0＜-

x0-2

x0+1

＜1，即

(x0-2)(x0+1)＜0 - x0-2 x0+1 ＜1

，
∴

(x0-2)(x0+1)＜0 (2x0-1)(x0+1)＞0

，解得

1

2

＜x₀＜2，
這與x₀＜0矛盾，假設(shè)不成立，
故方程f（x）=0沒有負(fù)根．

點(diǎn)評：本題考查了用反證法證明數(shù)學(xué)命題，二次不等式和分式不等式的解法，以及指數(shù)函數(shù)的有界性，解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)是根據(jù)條件推出矛盾．