Question

對于數(shù)列{x_n}，如果存在一個正整數(shù)m，使得對任意的n（n∈N^*）都有x_n+m=x_n成立，那么就把這樣一類數(shù)列{x_n}稱作周期為m的周期數(shù)列，m的最小值稱作數(shù)列{x_n}的最小正周期，以下簡稱周期．例如當(dāng)x_n=2時，{x_n}是周期為1的周期數(shù)列，當(dāng)yn=sin(

π

2

n)時，{y_n}的周期為4的周期數(shù)列．
（1）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n+2=λ•a_n+1-a_n（n∈N^*），a₁+a，a₂=b（a，b不同時為0），且數(shù)列{a_n}是周期為3的周期數(shù)列，求常數(shù)λ的值；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且4S_n=（a_n+1）²．
①若a_n＞0，試判斷數(shù)列{a_n}是否為周期數(shù)列，并說明理由；
②若a_na_n+1＜0，試判斷數(shù)列{a_n}是否為周期數(shù)列，并說明理由．
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n+2=-a_n+1-a_n（n∈N^*），a₁=1，a₂=2，b_n=a_n+1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，試問是否存在p、q，使對任意的n∈N^*都有p≤

Sn

n

≤q成立，若存在，求出p、q的取值范圍；不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用數(shù)列{a_n}是周期為3的周期數(shù)列以及a_n+2=λ•a_n+1-a_n可以推得（λ+1）（a_n+2-a_n+1）=0即可求常數(shù)λ的值；
（2）先利用4S_n=（a_n+1）²求得a_n-a_n-1=2或a_n=-a_n-1（n≥2）．
①由a_n＞0得a_n-a_n-1=2（n≥2），求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式即可判斷數(shù)列{a_n}是否為周期數(shù)列；
②由a_na_n+1＜0的a_n=-a_n-1（n≥2），求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式即可判斷數(shù)列{a_n}是否為周期數(shù)列；
（3）先由數(shù)列{a_n}滿足a_n+2=-a_n+1-a_n（n∈N^*），推得數(shù)列{a_n}以及數(shù)列{b_n}是周期為3的周期數(shù)列，求出數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)，即可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n以及數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n的取值范圍，即可求出對應(yīng)的p、q的取值范圍．

解答：解：由（1）數(shù)列{a_n}是周期為3的數(shù)列，
得a_n+3=a_n，且

an+2=λ an+1-an  an+3=λan+2-an+1

?（λ+1）（a_n+2-a_n+1）=0，即λ=-1．

（2）當(dāng)n=1時，s₁=a₁，4s₁=（a₁+1）²?a₁=1，
當(dāng)n≥2時，4a_n=4s_n-4s_n-1=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²．?（a_n-1）²=（a_n-1+1）²，即a_n-a_n-1=2或a_n=-a_n-1（n≥2）．
①由a_n＞0有a_n-a_n-1=2（n≥2），則{a_n}為等差數(shù)列，即a_n=2n-1，
由于對任意的n都有a_n+m≠a_n，所以數(shù)列{a_n}不是周期數(shù)列．
②由a_na_n+1＜0有a_n=-a_n-1（n≥2），數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，即a_n=（-1）^n-1，
即a_n+2=a_n對任意n都成立．
即當(dāng)a_na_n+1＜0時是{a_n}周期為2的周期數(shù)列．

（3）假設(shè)存在p，q．滿足題設(shè)．
于是

an+2=-an+1-an an+3=-an+2-an+1

?a_n+3=a_n，又b_n=a_n+1則b_n+3=b_n，
所以{b_n}是周期為3的周期數(shù)列，所以{b_n}的前3項(xiàng)分別為2，3，-2．
則s_n=

n       n=3k n+1     n=3k-2 n+3     n=3k-1

，
當(dāng)n=3k時，

sn

n

=1；
當(dāng)n=3k-2時，

sn

n

=1+

1

n

?1＜

sn

n

≤2；
當(dāng)n=3k-1時，

sn

n

=1+

3

n

?1＜

sn

n

≤

5

2

，
綜上1≤

sn

n

≤

5

2

，
為使p≤

sn

n

≤q恒成立，只要p≤1，q≥

5

2

即可．
綜上，存在p≤1，q≥

5

2

滿足題設(shè)．

點(diǎn)評：本題是在新定義下對數(shù)列知識的綜合考查，屬于數(shù)列中的難題．一般數(shù)列出大題，要么是非常容易，在第一第二大題；要么就是很難的題目．