Question

設函數(shù)．
（I）證明：0＜a＜1是函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上遞增的充分而不必要的條件；
（II）若x∈（﹣∞，0）時，滿足f（x）＜2a²﹣6恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）對函數(shù)）求導，得 ，
先證充分性：若0＜a＜1，∵1＜x＜2，∴x﹣a＞0，x+a＞0，
∴f'（x）＞0
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上遞增．
再說明非必要性：∵f（x）在區(qū)間（1，2）上遞增，
∴f'（x）≥0對1＜x＜2恒成立
即對1＜x＜2恒成立，x²﹣a²≥0對1＜x＜2恒成立，
即a²≤x²對1＜x＜2恒成立，
∵1＜x＜2，
∴1＜x²＜4，
∴a²≤1，即﹣1≤a≤1．即推不出0＜a＜1．
∴0＜a＜1是函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上遞增的充分而不必要的條件
（II）由（I）知，
令f'（x）=0，得x₁=a，x₂=﹣a
①當a=0時，f（x）=x，x∈（﹣∞，0）時，f（x）＜﹣6不能恒成立，不符合題意．
②當a＞0時，函數(shù)y=f（x）在（﹣∞，﹣a）上遞增，在（﹣a，0）上遞減，
∴函數(shù)y=f（x）在（﹣∞，0）上的極大值為f（﹣a）
若x∈（﹣∞，0）時，f（x）＜2a²﹣6恒成立，
則需f（x）極大值=f（﹣a）＜2a²﹣6即﹣4a＜2a²﹣6，解得a＞1．
③當a＜0時，函數(shù)y=f（x）在（﹣∞，a）上遞增，在（a，0）上遞減，
∴函數(shù)y=f（x）在（﹣∞，0）上的極大值為f（a）
此時x∈（﹣∞，0），若滿足f（x）＜2a²﹣6恒成立，
則需f（x）極大值=f（a）=0＜2a²﹣6
解得
故若x∈（﹣∞，0）時，滿足f（x）＜2a²﹣6恒成立，
實數(shù)