Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PPD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．

（I）求證：M為PB的中點(diǎn)；

（II）求二面角B-PD-A的大小；

（III）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)交點(diǎn)為，連接，因?yàn)榫�面平行，即平面,根據(jù)性質(zhì)定理，可知線線平行，即，再由為的中點(diǎn)，可知為的中點(diǎn)；（Ⅱ）因?yàn)槠矫?/span>平面， ，所以取的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法先求兩平面的法向量， ，再根據(jù)公式，求二面角的大小；（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，直接求即可.

試題解析：解：（I）設(shè)交點(diǎn)為，連接.

因?yàn)?/span>平面，平面平面，所以.

因?yàn)?/span>是正方形，所以為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn).

（II）取的中點(diǎn)，連接， .

因?yàn)?/span>，所以.

又因?yàn)槠矫?/span>平面，且平面，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以.

因?yàn)?/span>是正方形，所以.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則， ， ，

， .

設(shè)平面的法向量為，則，即.

令，則， .于是.

平面的法向量為，所以.

由題知二面角為銳角，所以它的大小為.

（III）由題意知， ， .

設(shè)直線與平面所成角為，則.

所以直線與平面所成角的正弦值為.