Question

若不論k為何值，直線y=k（x-2）+b與曲線x²-y²=1總有公共點，則b的取值范圍是

[-

3

，

3

]

．

Answer 1

分析：把y=k（x-2）+b代入x²-y²=1得（1-k²）x²-2k（b-2k）x-（b-2k）²-1=0，△=4k²（b-2k）²+4（1-k²）[（b-2k）²+1]=4[3（k-2b×

1

3

3）²+b²+1-4b²×

1

3

]，不論k取何值，△≥0，所以

b2

3

≤1，由此能求出b的取值范圍．

解答：解：把y=k（x-2）+b代入x²-y²=1得：
x²-[k（x-2）+b]²=1，
（1-k²）x²-2k（b-2k）x-（b-2k）²-1=0，
△=4k²（b-2k）²+4（1-k²）[（b-2k）²+1]
=4（1-k²）+4（b-2k）²
=4[3k²-4bk+b²+1]
=4[3（k-2b×

1

3

3）²+b²+1-4b²×

1

3

]，
不論k取何值，△≥0
b²+1-4b²×

1

3

≥0
∴

b2

3

≤1，
b²≤3，
-

3

≤b≤

3

．
故答案為：[-

3

，

3

]．

點評：本題考查直線與雙曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意根的判別式的合理運用．