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        1. (1)已知拋物線y2=2px(p>0),過焦點F的動直線l交拋物線于A,B兩點,為坐標(biāo)原點,求證:
          OA
          OB
          為定值;
          (2)由(1)可知:過拋物線的焦點F的動直線l交拋物線于A,B兩點,存在定點P,使得
          PA
          PB
          為定值.請寫出關(guān)于橢圓的類似結(jié)論,并給出證明.
          分析:(1)先討論出當(dāng)直線l垂直于x軸時,
          OA
          OB
          的值;再設(shè)出直線方程,把直線與拋物線方程聯(lián)立,得到A,B兩點的坐標(biāo)和斜率之間的關(guān)系,再代入
          OA
          OB
          計算即可得到結(jié)論.
          (2)先寫出類似結(jié)論,再根據(jù)第一問求
          OA
          OB
          的方法即可得到結(jié)論.(注意要分直線斜率存在和不存在兩種情況討論).
          解答:解:(1)若直線l垂直于x軸,則A(
          p
          2
          ,p)
          ,B(
          p
          2
          ,-p)
          .
          OA
          OB
          =(
          p
          2
          )2-p2=-
          3
          4
          p2
          .…(2分)
          若直線l不垂直于軸,設(shè)其方程為y=k(x-
          p
          2
          )
          ,A(x1,y1)B(x2,y2).
          y=k(x-
          p
          2
          )
          y2=2px
          ?k2x2-p(2+k2)x+
          p2
          4
          k2=0
          x1+x2=
          (2+k2)
          k2
          p,x1x2=
          p2
          4
          .…(4分)
          OA
          OB
          =x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-
          p
          2
          )(x2-
          p
          2
          )
          =(1+k2)x1x2-
          p
          2
          k2(x1+x2)+
          p2k2
          4
          =(1+k2)
          p2
          4
          -
          p
          2
          k2
          (2+k2)p
          k2
          +
          p2k2
          4
          =-
          3
          4
          p2

          綜上,
          OA
          OB
          =-
          3
          4
          p2
          為定值.…(6分)
          (2)關(guān)于橢圓有類似的結(jié)論:
          過橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)
          的一個焦點F的動直線l交橢圓于A、B兩點,存在定點P,使
          OA
          OB
          為定值.
          證明:不妨設(shè)直線l過橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          的右焦點F(c,0)(其中c=
          a2-b2

          若直線l不垂直于軸,則設(shè)其方程為:y=k(x-c),A(x1,y1)B(x2,y2).
          y=k(x-c)
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          ?(a2k2+b2)x2-2a2ck2x+(a2c2k2-a2b2)=0
          得:
          所以x1+x2=
          2a2ck2
          a2k2+b2
          ,x1x2=
          a2c2k2-a2b2
          a2k2-b2
          .…(9分)
          由對稱性可知,設(shè)點P在x軸上,其坐標(biāo)為(m,0).
          所以
          PA
          PB
          =(x1-m)(x2-m)+y1y2
          =(1+k2)x1x2-(m+ck2)(x1+x2)+m2+c2k2
          =(1+k2
          a2c2k2-a2b2
          a2k2-b2
          -(m+ck2
          2a2ck2
          a2k2+b2
          +m2+c2k2
          =
          (a4-a2b2-b4+a2m2-2a2cm)k2+(m2-a2)b2
          a2k2+b2

          要使
          PA
          PB
          為定值,
          只要a4-a2b2-b4+a2m2-2a2cm=a2(m2-a2),
          m=
          2a4-a2b2-b4
          2a2c
          =
          (2a2+b2)c
          2a2
          =
          (3-e2)c
          2

          此時
          PA
          PB
          =m2-a2=
          (2a2+b2)2c2-4a6
          4a4
          =
          b4(c2-4a2)
          4a4
          …(12分)
          若直線l垂直于x軸,則其方程為x=c,A(c,
          b2
          a
          )
          B(c,-
          b2
          a
          )

          取點P(
          (2a2+b2)c
          2a2
          ,0)

          PA
          PB
          =[
          (2a2+b2)c
          2a2
          -c]2-
          b4
          a2
          =
          b4(c2-4a2)
          4a4
          .…(13分)
          綜上,過焦點F(c,0)的任意直線l交橢圓于A、B兩點,存在定點P(
          (2a2+b2)c
          2a2
          ,0)

          使
          PA
          PB
          =
          b4(c2-4a2)
          4a4
          .為定值.…(14分)
          點評:本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合問題.在解決直線與圓錐曲線綜合問題時,常把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立.
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          1
          2
          .
          x1 y1  1
          x2y2     1
          x3y3    1
          .
          |
          .已知拋物線y2=4x,過拋物線焦點F斜率為
          4
          3
          的直線l與拋物線交于A、B兩點.
          (1)求A、B兩點的坐標(biāo);
          (2)若P(3,0),試用行列式計算三角形面積的方法求四邊形APBO的面積S.

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          OA
          OB
          為定值;
          (2)由(1)可知:過拋物線的焦點F的動直線 l 交拋物線于A,B兩點,存在定點P,使得
          PA
          PB
          為定值.請寫出關(guān)于橢圓的類似結(jié)論,并給出證明.

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