Question

（1）已知拋物線y²=2px（p＞0），過焦點F的動直線l交拋物線于A，B兩點，為坐標原點，求證：為定值；

（2）由 （1）可知：過拋物線的焦點F的動直線 l 交拋物線于A，B兩點，存在定點P，使得為定值．請寫出關于橢圓的類似結論，并給出證明．

Answer 1

考點：

拋物線的簡單性質；直線與圓錐曲線的綜合問題．

專題：

計算題；綜合題；分類討論．

分析：

（1）先討論出當直線l垂直于x軸時，的值；再設出直線方程，把直線與拋物線方程聯立，得到A，B兩點的坐標和斜率之間的關系，再代入計算即可得到結論．

（2）先寫出類似結論，再根據第一問求的方法即可得到結論．（注意要分直線斜率存在和不存在兩種情況討論）．

解答：

解：（1）若直線l垂直于x軸，則，.=．…（2分）

若直線l不垂直于軸，設其方程為，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．

由．…（4分）

∴=x₁x₂+y₁y₂===．

綜上，=為定值．…（6分）

（2）關于橢圓有類似的結論：

過橢圓的一個焦點F的動直線l交橢圓于A、B兩點，存在定點P，使為定值．

證明：不妨設直線l過橢圓的右焦點F（c，0）（其中）

若直線l不垂直于軸，則設其方程為：y=k（x﹣c），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．

由得：

所以，．…（9分）

由對稱性可知，設點P在x軸上，其坐標為（m，0）．

所以=（x₁﹣m）（x₂﹣m）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂﹣（m+ck²）（x₁+x₂）+m²+c²k²=（1+k²）﹣（m+ck²）+m²+c²k²=

要使為定值，

只要a⁴﹣a²b²﹣b⁴+a²m²﹣2a²cm=a²（m²﹣a²），

即

此時=m²﹣a²=…（12分）

若直線l垂直于x軸，則其方程為x=c，，．

取點

有==．…（13分）

綜上，過焦點F（c，0）的任意直線l交橢圓于A、B兩點，存在定點

使=．為定值．…（14分）

點評：

本題主要考查拋物線的基本性質以及直線與圓錐曲線的綜合問題．在解決直線與圓錐曲線綜合問題時，常把直線方程與圓錐曲線方程聯立．