Question

（09年東城區(qū)二模文）（14分）

如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，且，是中點．

（Ⅰ）證明：//平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

       

Answer 1

解析: （Ⅰ）

證明：連結(jié)交于點，連結(jié)．                

為中點，為中點，

∴//．                            …………………3分

平面，平面，                

∴ //平面．                                …………………6分

（Ⅱ）

解法1：取中點，過作于，連結(jié)、,   

為中點，∴ //，∴ 平面，

∴ 為在平面內(nèi)的射影．            

又, ∴ ,                       

∴為二面角的平面角．        ………………10分

在Rt中，，

∴△∽△.

∴,設正方形邊長為2,  ，∴ . …………12分

在Rt△中，，      

∴二面角的大小為．      …………14分

解法2：

(Ⅱ)如圖,以為坐標原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系．                             ………………8分

由,設正方形邊長為2, 則(0, 0, 0), (2, 0, 0),(2, 2, 0),

(0, 2, 0), (0, 0, 2), (0, 1, 1) ．        ……………10分

平面，∴是平面的法向量， =（0, 0, 2）．

設平面的法向量為, ,

則  即   解得   

 令,則.                …………..12分

 .           

∴二面角的大小為．        ………………14分