Question

給出函數(shù)封閉的定義：若對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x₀，都有函數(shù)值f（x₀）∈D，則稱(chēng)函數(shù)y=f（x）在D上封閉．
（1）若定義域D₁=（0，1），判斷下列函數(shù)中哪些在D₁上封閉（寫(xiě)出推理過(guò)程）：f₁（x）=2x-1，f₂（x）=-

1

2

x2-

1

2

x+1，f₃（x）=2^x-1；
（2）若定義域D₂=（1，2），是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）=

5x-a

x+2

在D₂上封閉？若存在，求出a的值，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)定義域，求得函數(shù)的定義域，利用新定義，即可得到結(jié)論；
（2）分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式組，可求a的值．

解答：解：（1）對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x₀，都有函數(shù)值f₁（x₀）∈（-1，1）∉D₁，
故函數(shù)f₁（x）=2x-1在D₁上不封閉；
同理，f₂（x）=-

1

2

x2-

1

2

x+1=-

1

2

(x+

1

2

)2+

7

8

∈（0，1）；f₃（x）=2^x-1∈（0，1），故在D₁上封閉；
（2）f（x）=

5x-a

x+2

，對(duì)稱(chēng)中心為（-2，5）
當(dāng)a+10＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=

5x-a

x+2

在D₂上為增函數(shù)，只需

f(1)≥1 f(2)≤2 a＞-10

，∴a=2
當(dāng)a+10＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=

5x-a

x+2

在D₂上為減函數(shù)，只需

f(1)≤2 f(2)≥1 a＜-10

，∴a∈∅
綜上，所求a的值等于2．

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義函數(shù)為載體，考查新定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，有一定的難度．