Question

若曲線f（x）=ax²+lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：先求出函數(shù)的定義域，然后求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)存在垂直于y軸的切線，得到此時(shí)斜率為0，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x＞0范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2ax+

1

x

存在零點(diǎn)，再將之轉(zhuǎn)化為g（x）=-2ax與h(x)=

1

x

存在交點(diǎn)，討論a的正負(fù)進(jìn)行判定即可．

解答：解：由題意該函數(shù)的定義域x＞0，由f′(x)=2ax+

1

x

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因?yàn)榇嬖诖怪庇趛軸的切線，
故此時(shí)斜率為0，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x＞0范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2ax+

1

x

存在零點(diǎn)．
再將之轉(zhuǎn)化為g（x）=-2ax與h(x)=

1

x

存在交點(diǎn)．當(dāng)a=0不符合題意，
當(dāng)a＞0時(shí)，如圖1，數(shù)形結(jié)合可得顯然沒(méi)有交點(diǎn)，
當(dāng)a＜0如圖2，此時(shí)正好有一個(gè)交點(diǎn)，故有a＜0．
故答案為：{a|a＜0}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，函數(shù)零點(diǎn)等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．