Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列中，，點(diǎn)在拋物線上.數(shù)列中，點(diǎn)在經(jīng)過(guò)點(diǎn)，以為方向向量的直線上.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）若，問(wèn)是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）對(duì)任意的正整數(shù)，不等式成立，求正數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，；（3）

【解析】

（1）將坐標(biāo)代入拋物線方程得數(shù)列是等差數(shù)列，從而得通項(xiàng)公式，求出直線方程后可得；

（2）分類討論，按的奇偶性分類討論即可求解；

（3）不等式可變形為，然后設(shè)，　利用確定的單調(diào)性得其最小值，即得的取值范圍．

（1）將點(diǎn)代入拋物線得：

數(shù)列是等差數(shù)列.

，即

為直線的方向向量直線的斜率，直線的方程為

在直線上.

（2）由題

①當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，是奇數(shù)，即，

②當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，即（舍去）.

故存在唯一的符合條件.

（3）由題，即

設(shè)，

則

，即數(shù)列是遞增數(shù)列.