Question

已知圓C：x²+y²-2x-4y-4=0．
（I）設(shè)圓C與x軸交于A、B兩個(gè)點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)；
（II）過點(diǎn)（4，3）作圓C的切線，求切線的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)D為AB的中點(diǎn)，由題意可得：|CD|=2，|AC|=3，在直角三角形ACD中，|AD|=

5

，進(jìn)而求出答案．
（II）由題意可得：點(diǎn)（4，3）在圓的外部，所以所求切線有兩條，由圖象可得，過點(diǎn)（4，3）作圓的切線一條為x=4．
設(shè)出另一條切線方程，再由點(diǎn)到直線的距離得到切線方程．

解答：解：（I）由題意可得：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+（y-2）²=9，設(shè)D為AB的中點(diǎn)，
因?yàn)閳AC與x軸相交，
所以|CD|=2，|所以AC|=3，
所以在直角三角形ACD中，|AD|=

5

，
所以|AB|=2|AD|=2

5

．
（II）由題意可得：點(diǎn)（4，3）在圓的外部，所以所求切線有兩條，
由圖象可得，過點(diǎn)（4，3）作圓的切線一條為x=4．

設(shè)過點(diǎn)（4，3）的圓C的另一條切線為：y-3=k（x-4），
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得：

|k-2+3-4k|

k2+1

，
解得：k=-

4

3

，整理切線方程可得：4x+3y-25-0．
所以圓的切線方程為：x=4或者4x+3y-25-0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查弦長(zhǎng)問題與直線與圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式．