Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）對一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出f′（x），令f′（x）小于0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間，令f′（x）大于0求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間；（Ⅱ）當0＜t＜t+2＜

1

e

時t無解，當0＜t≤

1

e

＜t+2即0＜t≤

1

e

時，根據(jù)函數(shù)的增減性得到f（x）的最小值為f（

1

e

），當

1

e

＜t＜t+2即t＞

1

e

時，函數(shù)為增函數(shù)，得到f（x）的最小值為f（t）；
（Ⅲ）求出g′（x），把f（x）和g′（x）代入2f（x）≤g′（x）+2中，根據(jù)x大于0解出a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

，然后令h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，求出h（x）的最大值，a大于等于h（x）的最大值，方法是先求出h′（x）=0時x的值，利用函數(shù)的定義域和x的值分區(qū)間討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的最大值，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得0＜x＜

1

e

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

1

e

)
令f′（x）＞0解得x＞

1

e

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(

1

e

，+∞)；
（Ⅱ）當0＜t＜t+2＜

1

e

時，t無解
當0＜t≤

1

e

＜t+2，即0＜t≤

1

e

時，
∴f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
當

1

e

＜t＜t+2，即t＞

1

e

時，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt
∴f(x)min=

- 1 e     0＜t≤ 1 e tlnt     t＞ 1 e

；
（Ⅲ）由題意：2xlnx≤3x²+2ax-1+2即2xlnx≤3x²+2ax+1
∵x∈（0，+∞）
∴a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

設(shè)h(x)=lnx-

3

2

x-

1

2x

，則h′(x)=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍）
當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0
∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2
∴a≥-2
故實數(shù)a的取值范圍[-2，+∞）

點評：本題要求學生會利用導函數(shù)的正負得到函數(shù)的額單調(diào)區(qū)間以及會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，是一道中檔題．