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        1. 如圖6所示,等邊三角形OAB的邊長為8,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.

          圖6
          (1)求拋物線E的方程;
          (2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P,與直線y=-1相交于點(diǎn)Q,證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn).
          (1)x2=4y(2)見解析
          解:(1)依題意,|OB|=8,∠BOy=30°.
          設(shè)B(x,y),則x=|OB|sin30°=4,y=|OB|cos30°=12.
          因?yàn)辄c(diǎn)B(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p×12,解得p=2.
          故拋物線E的方程為x2=4y.
          (2)由(1)知y=x2,y′=x.
          設(shè)P(x0,y0),則x0≠0,且l的方程為y-y0x0(x-x0),即y=x0x-.

          所以Q.
          假設(shè)以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M,由圖形的對(duì)稱性知M必在y軸上,設(shè)M(0,y1),令·=0對(duì)滿足y0 (x0≠0)的x0,y0恒成立.
          由于=(x0,y0-y1),.
          ·=0,得-y0-y0y1+y1=0.
          即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)
          由于(*)式對(duì)滿足y0 (x0≠0)的y0恒成立,所以
          解得y1=1.
          故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M(0,1).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

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          (本小題滿分14分) 如圖,已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A、B、C三點(diǎn),過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn).分別過點(diǎn)C、D作平行于軸的直線、.(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式;(2)求證:以O(shè)N為直徑的圓與直線相切;(3)求線段MN的長(用表示),并證明M、N兩點(diǎn)到直線的距離之和等于線段MN的長.

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          (本小題滿分14分)已知是互不相等的實(shí)數(shù),
          求證:由確定的三條拋物線至少有一條與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

          拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是                   .

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

          直線y=x-1被拋物線y2=4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是______________.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

          .已知直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),F(xiàn)為C的焦點(diǎn),若|FA|=2|FB|,則實(shí)數(shù)k的值為   (   )
          A.B.C.D.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          (本小題滿分12分)
          已知直線:交拋物線兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).

          (Ⅰ)求的面積;
          (Ⅱ)設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

          軸為對(duì)稱軸,以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn),準(zhǔn)線的拋物線的方程是
          A.B.C.D.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

          .已知為拋物線C上的一點(diǎn),為拋物線C的焦點(diǎn),其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),直線與拋物線交于另一點(diǎn),且,則點(diǎn)坐標(biāo)為    

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          同步練習(xí)冊(cè)答案