Question

(本小題滿分14分)設(shè)橢圓與拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從每條曲線上至少取兩個點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中:

 
1)求，的標(biāo)準(zhǔn)方程, 并分別求出它們的離心率；
2)設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且（其中坐標(biāo)原點(diǎn)），請問是否存在這樣的直線過拋物線的焦點(diǎn)若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1），，，。（2）。

解析試題分析：（1）∵焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓與拋物線的中心與頂點(diǎn)在原點(diǎn)，又過點(diǎn)，
故點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在拋物線上
，
∴點(diǎn)在上，
設(shè)
把點(diǎn)代入得，

由拋物線知
（2）由得
若l與x軸垂直，則l:x=1
由
設(shè)不滿足
若存在直線l不與x軸垂直，可設(shè)為
設(shè)
由

    

      
所求的直線為
考點(diǎn)：橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)；直線與橢圓的綜合應(yīng)用。
點(diǎn)評：（1）做第一問的關(guān)鍵是確定哪兩個點(diǎn)在橢圓上，哪兩個點(diǎn)在拋物線上。（2）在求直線與圓錐曲線相交的有關(guān)問題時，通常采用設(shè)而不求的方法，在求解過程中一般采取步驟為：設(shè)點(diǎn)→聯(lián)立方程→消元→韋達(dá)定理。