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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          1-x
          ax
          +lnx
          (1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求正實數(shù)a的取值范圍;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(3)當a=1時,求證:對大于1的任意正整數(shù)n,都有lnn>
          1
          2
          +
          1
          3
          +
          1
          4
          +…+
          1
          n
          分析:(1)函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)則f'(x)≥0對x∈[1,+∞)恒成立,建立關(guān)系式,解之即可;
          (2)求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),化簡整理后,根據(jù)a小于0和a大于0,分別討論導(dǎo)函數(shù)的正負即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
          (3)先研究函數(shù)f(x)在[1,+∞)上的單調(diào)性,令x=
          n
          n-1
          ,易得ln
          n
          n-1
          1
          n
          ,然后利用lnn>ln
          2
          1
          +ln
          3
          2
          +…+ln
          n
          n-1
          即可證得結(jié)論.
          解答:解:(1)∵f(x)=
          1-x
          ax
          +lnx
          ∴f'(x)=
          ax-1
          ax2
          (a>0)…1
          ∵函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)∴f'(x)=
          ax-1
          ax2
          ≥0對x∈[1,+∞)恒成立
          ax-1≥0對x∈[1,+∞)恒成立,即a≥
          1
          x
          對x∈[1,+∞)恒成立∴a≥1  (4分)
          (2)∵a≠0f′(x)=
          a(x-
          1
          a
          )
          ax2
          =
          x-
          1
          a
          x2
          ,x>0
          ,
          當a<0時,f'(x)>0對x∈(0,+∞)恒成立,∴f(x)的增區(qū)間為(0,+∞)…5
          當a>0時,f′(x)>0?x>
          1
          a
          ,f′(x)<0?x<
          1
          a

          ∴f(x)的增區(qū)間為(
          1
          a
          ,+∞)
          ,減區(qū)間為(0,
          1
          a
          )…6
          (3)當a=1時,f(x)=
          1-x
          x
          +lnx
          ,f'(x)=
          x-1
          x2
          ,故f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù).
          當n>1時,令x=
          n
          n-1
          ,則x>1,故f(x)>f(1)=0…8
          ∴f(
          n
          n-1
          )=
          1-
          n
          n-1
          n
          n-1
          +ln
          n
          n-1
          =-
          1
          n
          +ln
          n
          n-1
          >0,即ln
          n
          n-1
          1
          n

          ∴l(xiāng)nn>ln
          2
          1
          +ln
          3
          2
          +…+ln
          n
          n-1
          1
          2
          +
          1
          3
          +
          1
          4
          +…+
          1
          n
          點評:此題考查學生會根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負判斷得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,會根據(jù)函數(shù)的增減性證明不等式,是一道綜合題.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (1)、已知函數(shù)f(x)=
          1+
          2
          cos(2x-
          π
          4
          )
          sin(x+
          π
          2
          )
          .若角α在第一象限且cosα=
          3
          5
          ,求f(α)

          (2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
          3
          sinxcosx
          的圖象按向量
          m
          =(
          π
          6
          ,-1)
          平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=(1-
          a
          x
          )ex
          ,若同時滿足條件:
          ①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
          ②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
          則實數(shù)a的取值范圍是( 。

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1+lnx
          x

          (1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
          1
          2
          )
          上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
          (2)當x≥1時,不等式f(x)≥
          k
          x+1
          恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1+
          1
          x
          ,(x>1)
          x2+1,(-1≤x≤1)
          2x+3,(x<-1)

          (1)求f(
          1
          2
          -1
          )
          與f(f(1))的值;
          (2)若f(a)=
          3
          2
          ,求a的值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
          1-m•2x1+m•2x

          (1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
          (2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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