給定橢圓C：
，稱圓心在原點O、半徑為
的圓是橢圓C的“伴橢圓” ，若橢圓C的一個焦點為
,其短軸上的一個端點到
距離為
；
（1）、求橢圓C的方程及其“伴橢圓”的方程；
（2）、若傾斜角為
的直線與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓C的“伴橢圓”相交于M、N兩點，求弦MN的長。
（3）、若點P是橢圓C“伴橢圓”上一動點，過點P作直線
，使得與橢圓C都只有一個公共點，求證：
。
解：（1）因為
，所以
……………………………………………2分
所以橢圓的方程為
，伴隨圓的方程為
.…………………………4分
（2）設(shè)直線
的方程
，由
得
由
得
…………………………6分
圓心到直線的距離為
，所以
………………………………8分
（3）①、當
中有一條無斜率時，不妨設(shè)
無斜率，
因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為
或
，
當方程為時，此時與伴隨圓交于點
此時經(jīng)過點
（或
且與橢圓只有一個公共點的直線是
(或
，即
為(或，顯然直線垂直；
同理可證方程為時，直線垂直.…………………………………………………10分
②、當都有斜率時，設(shè)點
其中
，
設(shè)經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為
，
由
，消去
得到
，
即
，………………………………………12分
，
經(jīng)過化簡得到：
，
因為，所以有
，……………………………14分
設(shè)的斜率分別為
，因為與橢圓都只有一個公共點，
所以滿足方程，
因而
，即垂直.………………………………………………………………16分
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應(yīng)用題系列答案科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江蘇省高三3月月考數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
（本小題滿分15分）
給定橢圓C：
，稱圓心在原點O、半徑是
的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為
，其短軸的一個端點到點
的距離為
．
（1）求橢圓C和其“準圓”的方程；
（2）若點
是橢圓C的“準圓”與
軸正半軸的交點，
是橢圓C上的兩相異點，且
軸，求
的取值范圍；
（3）在橢圓C的“準圓”上任取一點
，過點作直線
，使得與橢圓C都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年江蘇省高三第二次模擬考試數(shù)學試卷 題型：解答題
給定橢圓C：
，稱圓心在原點O、半徑為
的圓是橢圓C的“伴橢圓” ，若橢圓C的一個焦點為
,其短軸上的一個端點到
距離為
；
（1）、求橢圓C的方程及其“伴橢圓”的方程；
（2）、若傾斜角為
的直線與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓C的“伴橢圓”相交于M、N兩點，求弦MN的長。
（3）、若點P是橢圓C“伴橢圓”上一動點，過點P作直線
，使得與橢圓C都只有一個公共點，求證：
。
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年江蘇省高三第二次模擬考試數(shù)學試卷 題型：解答題
給定橢圓C：
，稱圓心在原點O、半徑為
的圓是橢圓C的“伴橢圓” ，若橢圓C的一個焦點為
,其短軸上的一個端點到
距離為
；
（1）、求橢圓C的方程及其“伴橢圓”的方程；
（2）、若傾斜角為
的直線與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓C的“伴橢圓”相交于M、N兩點，求弦MN的長。
（3）、若點P是橢圓C“伴橢圓”上一動點，過點P作直線
，使得與橢圓C都只有一個公共點，求證：
。
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科目：高中數(shù)學 來源：2013年上海市黃浦區(qū)高考數(shù)學一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題
，稱圓心在原點O、半徑是
的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為
，其短軸的一個端點到點F的距離為
．
的取值范圍．查看答案和解析>>
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