Question

【題目】若函數(shù)滿足（其中且）.

（1）求函數(shù)的解析式，并判斷其奇偶性和單調(diào)性；

（2）解關(guān)于的不等式.

Answer 1

【答案】　(1) 見解析；(2) .

【解析】試題分析：

(1)利用換元法可得函數(shù)的解析式為，結(jié)合函數(shù)的解析式可得函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；

(2)結(jié)合(1)中確定的函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性脫去f符號，得到不等式，求解不等式可得不等式的解集為.

試題解析：

　(1)令logax＝t(t∈R)，則x＝at，

∴f(t)＝ (at－a－t)．

∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)．

∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．

當(dāng)a＞1時，y＝ax為增函數(shù)，y＝－a－x為增函數(shù)，且＞0，

∴f(x)為增函數(shù)．

當(dāng)0＜a＜1時，y＝ax為減函數(shù)，y＝－a－x為減函數(shù)，且＜0，

∴f(x)為增函數(shù)．∴f(x)在R上為增函數(shù)．

(2)∵f(x)是R上的增函數(shù)且為奇函數(shù)，∴由得

∴

∴不等式的解集為.