Question

【題目】已知橢圓： （）的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為， ，過的直線交橢圓于， 兩點(diǎn)，且的周長為8，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線： 與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)， 是直線上的兩點(diǎn)，且， ，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）4.

【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)橢圓中焦點(diǎn)三角形周長結(jié)論可得，，然后由，即可得橢圓的基本量求解方程（2）直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則聯(lián)立后方程=0得m，k的關(guān)系式，然后由點(diǎn)到直線距離公式得d1，d2，寫出四邊形的面積，將各量代入化簡求解即可

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>的周長為8，所以，所以.又因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）將直線的方程代入到橢圓方程中，得 .

由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，知 ，化簡得.

設(shè)， ，

所以 ，

，

所以

.

因?yàn)樗倪呅?/span>的面積，

所以

.

令（），則

，

所以當(dāng)時(shí)， 取得最大值為16，故，即四邊形面積的最大值為4.