Question

已知函數(shù)f(x)=

1+x 1-x

+lg(2-2x+x2)的定義域為M，g(x)=

ax

x-1

(a≠0，x∈[2，4])的值域為N．
（1）求M；
（2）若M∩N≠∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過對數(shù)的真數(shù)大于0，無理式被開放數(shù)不小于0，列出不等式組，求出函數(shù)的定義域，即可得到M；
（2）化簡g（x）的表達式，通過a＞0與a＜0利用函數(shù)的單調(diào)性集合M∩N≠Φ，求出a的范圍，然后求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可知

2-2x+x2＞0 1+x 1-x ≥0

，解得-1≤x＜1，
所以函數(shù)的定義域為M=[-1，1）；
（2）g(x)=

ax

x-1

=a+

a

x-1

，
當(dāng)a＞0時，g（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減，
∴g（4）≤g（x）≤g（2）
即

4a

3

≤g(x)≤2a，所以N∈[

4a

3

，2a]，又因為M∩N≠∅，可得0＜a＜

3

4

，
當(dāng)a＜0時，g（x） 區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)，所以g（2）≤g（x）≤g（4）．
即

4a

3

≥g(x)≥2a，所以N=[2a，

4a

3

]．
又因為M∩N≠∅，可得-

3

4

≤a＜0，
綜上實數(shù)a的取值范圍{a|-

3

4

≤a＜0或0＜a＜

3

4

}．

點評：本題考查函數(shù)的定義域的求法，函數(shù)的值域的求法，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，分類討論思想的應(yīng)用，考查計算能力轉(zhuǎn)化思想．