Question

【題目】f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，f(－1)＝2.

(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；

(2)求證：f(x)是R上的減函數(shù)；

(3)求f(x)在[－2，4]上的最值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）最大值為4，最小值為－8．

【解析】試題分析：抽象函數(shù)利用賦值法來幫助解題。（1）奇偶性利用定義證明，賦值，解得，再賦值，得，即證得奇函數(shù)；（2）單調(diào)性也利用定義證明，結(jié)合條件時(shí)， ，可證明減函數(shù)；（3）由減函數(shù)可知， ，再根據(jù)條件和奇函數(shù)，即可求出最值。

試題解析：

(1) 的定義域?yàn)?/span>，

令，則， ，

令，則，

， ， 是奇函數(shù).

(2)設(shè)，

，

， ， ，即，

在上為減函數(shù).

(3) ，

為奇函數(shù)， ，

， 在上為減函數(shù)，

.