Question

過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的對(duì)稱軸上的定點(diǎn)M（m，0）（m＞0），作直線AB與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）試證明A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；
（2）若點(diǎn)N是定直線l：x=-m上的任意一點(diǎn)，分別記直線AN，MN，BN的斜率為k₁、k₂、k₃，
試求k₁、k₂、k₃之間的關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m與y²=2px聯(lián)立得y²=2px，x=ty+m，消去x得y²-2pty-2pm=0，再由韋達(dá)定理得y₁•y₂為定值；
（2）三條直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列，證明如下：設(shè)點(diǎn)N（-m，n），則直線AN的斜率為；直線BN的斜率為，由此能夠推導(dǎo)出k_AN+k_BN=2k_MN，即直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列．
解答：解：（1）證明：．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）有y₁•y₂=-2pm，下證之：
設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m與y²=2px聯(lián)立得y²=2px
x=ty+m，消去x得y²-2pty-2pm=0（4分）
由韋達(dá)定理得y₁•y₂=-2pm，（6分）
（2）解：三條直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列，（9分）
下證之：
設(shè)點(diǎn)N（-m，n），則直線AN的斜率為；
直線BN的斜率為
∴
=
=
=（13分）
又∵直線MN的斜率為（14分）
∴k_AN+k_BN=2k_MN，即直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列． （15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用．