Question

已知函數(shù)f(x)=1-

a

x

+ln

1

x

（a為實(shí)常數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)g（x）=f（x）-2x的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上無(wú)極值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）已知n∈N^*且n≥3，求證：ln

n+1

3

＜

1

3

+

1

4

+

1

5

+…+

1

n

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)定義域，當(dāng)a=1時(shí)求出g′（x），只需解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上無(wú)極值，則f′（x）≥0或f′（x）≤0，由此即可求出a的取值范圍．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（1）=0，得f（x）=1-

1

x

+ln

1

x

≤0≤0，即ln

1

x

≤

1-x

x

，令x=

n+1

n

適當(dāng)變形即可證明．

解答：解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，g(x)=1-2x-

1

x

+ln

1

x

，其定義域?yàn)椋?，+∞），g′（x）=-2+

1

x2

-

1

x

=

-2x2-x+1

x2

=

-(2x-1)(x+1)

x2

，，
令g′（x）＞0，并結(jié)合定義域知x∈(0，

1

2

)； 令g′（x）＜0，并結(jié)合定義域知x∈(

1

2

，+∞)；
故g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，

1

2

）；單調(diào)減區(qū)間為(

1

2

，+∞)．
（II）f′(x)=

a

x2

-

1

x

=

a-x

x2

，
（1）當(dāng)f′（x）≤0即a≤x在x∈（0，2）上恒成立時(shí)，a≤0，此時(shí)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，無(wú)極值；
（2）當(dāng)f′（x）≥0即a≥x在x∈（0，2）上恒成立時(shí)，a≥2，此時(shí)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，無(wú)極值．
綜上所述，a的取值范圍為（-∞，0]∪[2，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=

1-x

x2

，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）=1-

1

x

+ln

1

x

在x=1處取得最大值0．
即f（x）=1-

1

x

+ln

1

x

≤0，
∴ln

1

x

≤

1-x

x

，令x=

n

n+1

（0＜x＜1），則ln

n+1

n

＜

1

n

，即ln（n+1）-lnn＜

1

n

，
∴l(xiāng)n

n+1

3

=ln（n+1）-ln3=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+（ln4-ln3）
＜

1

n

+

1

n-1

+

1

n-2

+…+

1

3

．
故ln

n+1

3

＜

1

3

+

1

4

+

1

5

+…+

1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問(wèn)題，考查了運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．