Question

（2009•紅橋區(qū)二模）定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-

3

4

，0）成中心對稱，對任意的實數(shù)x都有f（x）=-

1

f(x+ 3 2 )

，且f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+…+f（2009）的值為（　　）

A．-1

B．0

C．2

D．3

Answer 1

分析：由已知中定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-

3

4

，0）成中心對稱，對任意實數(shù)x都有f（x）=-

1

f(x+ 3 2 )

，我們易判斷出函數(shù)f（x）是周期為3的周期函數(shù)，進而由f（-1）=1，f（0）=-2，我們求出一個周期內(nèi)函數(shù)的值，進而利用分組求和法，得到答案．

解答：解：∵f（x）=-

1

f(x+ 3 2 )

，
∴f（x+

3

2

）=-

1

f(x)

則f（x+3）=-

1

f(x+ 3 2 )

=f（x）
所以，f（x）是周期為3的周期函數(shù)．
則f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，f（

1

2

）=-

1

f(-1)

=-1
∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-

3

4

，0）成中心對稱，
∴f（1）=-f（-

5

2

）=-f（

1

2

）=1
∵f（0）=-2
∴f（1）+f（2）+f（3）=1+1-2=0
∴f（1）+f（2）+…+f（2009）=f（1）+f（2）=1+1=2
故選C．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的周期性，其中根據(jù)已知中對任意實數(shù)x都有f（x）=-

1

f(x+ 3 2 )

，判斷出函數(shù)的周期性，是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．