Question

已知函數(shù)f(x)=x+

2a

x

（a為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3）．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）寫(xiě)出函數(shù)f（x）在[a，a+1]上的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在[a，a+1]上的值域．

Answer 1

分析：（1）只需要代入x=1即可得結(jié)果．
（2）首先要判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用單調(diào)性來(lái)解答函數(shù)治值域的問(wèn)題，這是求函數(shù)值域的重要方法．利用定義求單調(diào)區(qū)間的時(shí)候，要注意x₁，x₂的任意性，本題中求單調(diào)區(qū)間需要分1≤x₁＜x₂≤

2

和-

2

≤x₁＜x₂≤2進(jìn)行討論．

解答：解：（1）由已知f(1)=1+

2a

1

=2a+1=3，得a=1；
    （2）有（1）知a=1，所以函數(shù)f(x)=x+

2

x

，
    在[1，2]上可設(shè)設(shè)1＜x₁＜x₂＜2，則
    f（x₁）-f（x₂）=（x1+

2

x1

）-（x2+

2

x2

）
=（x₁-x₂）+（

2

x1

-

2

x2

）
=（x₁-x₂）•

x1x2-2

x1x2

    因?yàn)?＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0，
    當(dāng)1＜x₁＜x₂≤

2

時(shí)，x₁•x₂-2＜0，所以

x1x2-2

x1x2

＜0
    所以：f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
    所以f（x）在（1，

2

]上是減函數(shù)．
    當(dāng)

2

≤x₁＜x₂＜2時(shí)，x₁•x₂-2＞0，所以

x1x2-2

x1x2

＞0
    所以：f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
    所以f（x）在[

2

，2）上是增函數(shù)．
    因此函數(shù)f（x）在[a，a+1]即在[1，2]上的單調(diào)區(qū)間為：
    減區(qū)間為[1，

2

]，增區(qū)間為[

2

，2]．
    所以函數(shù)在[1，2]上的最小值為f（

2

）=2

2

，
    又因?yàn)閒（1）=3，f（2）=3，所以函數(shù)的值域是[2

2

，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式，函數(shù)值的求法，函數(shù)單調(diào)性以及利用函數(shù)單調(diào)性解答函數(shù)值域和最值的知識(shí)．