Question

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在X軸上，橢圓短半軸長為1，動(dòng)點(diǎn)M(2，t)(t＞0)在直線上．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)求以線段OM為直徑且被直線3x―4y―5＝0截得的弦長為2的圓的方程；

(3)設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線OM的垂線與以線段OM為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)又由點(diǎn)M在準(zhǔn)線上，得　　2分

　　故，　從而

　　所以橢圓方程為　　4分

　　(2)以O(shè)M為直徑的圓的方程為

　　即

　　其圓心為，半徑　　6分

　　因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線截得的弦長為2

　　所以圓心到直線的距離　　8分

　　所以，解得

　　所求圓的方程為　　10分

　　(3)方法一：設(shè)過點(diǎn)F作直線OM的垂線，垂足為K，由平幾知：

直線OM：，直線FN：　　12分

　　由得

　　所以線段ON的長為定值．

　　所以線段ON的長為定值　　14分