Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）討論關(guān)于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=xlnx，知f'（x）=lnx+1，令lnx+1=0，得x=

1

e

，由此能求出f（x）的最小值．
（2）由f（x）先減后增，最小值為f（

1

e

）=-

1

e

，f（x）=xlnx定義域是{x|x＞0}，f（1）=0，作出函數(shù)f（x）=xlnx草圖，由此能當(dāng)判斷關(guān)于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）∵f（x）=xlnx，∴f'（x）=lnx+1，
令lnx+1=0，得x=

1

e

，
當(dāng)x＞

1

e

時(shí)，f'（x）＞0，
當(dāng)0＜x＜

1

e

時(shí)，f'（x）＜0
所以f（x）先減后增，最小值為f（

1

e

）=-

1

e

．
（2）由（1）知，f（x）先減后增，最小值為f（

1

e

）=-

1

e

，
f（x）=xlnx定義域是{x|x＞0}，f（1）=0，
畫出函數(shù)f（x）=xlnx草圖，

結(jié)合圖象和最小值為f（

1

e

）=-

1

e

，知：
當(dāng)m＜-

1

e

時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）-m=0（m∈R）無(wú)解；
當(dāng)-

1

e

＜m＜0時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）-m=0（m∈R）有兩個(gè)解；
當(dāng)m=-

1

e

或m≥0時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）-m=0（m∈R）有唯一解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最小值的求法和判斷關(guān)于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的個(gè)數(shù)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．