Question

已知直線l⊥平面α，O為垂足，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=5，AB=6，AA₁=8，A∈l，B₁∈α，則OC₁的最大值為

5+5

2

．

Answer 1

分析：按題意：直線AO垂直于直線B₁O，三角形為AOB₁為直角三角形，O點(diǎn)在以|AB₁|為直徑的球面上；設(shè)球面中心點(diǎn)為P，則點(diǎn)P位于線段|AB₁|的中點(diǎn)；此時(shí)答案變?yōu)榍笄蛲庖稽c(diǎn)至球面上一點(diǎn)的距離；按題意：存在直角三角形C₁B₁P，線段|C₁P|為斜邊（點(diǎn)C₁至球心P的距離）；此時(shí)：存在任意三角形C₁PO，其中線段|C₁P|為C₁點(diǎn)至球心P的距離、線段|PO|為球面半徑，線段|C₁O|的長(zhǎng)度是我們要的答案．

解答：解：∵直線AO（即l）垂直于α，直線B₁O?α，
∴三角形AOB₁為直角三角形，
∴O點(diǎn)在以|AB₁|為直徑的球面上；設(shè)球面中心點(diǎn)為P，則點(diǎn)P位于線段|AB₁|的中點(diǎn)；
又長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，|AD|=5，|AB|=6，|AA₁|=8，
∴|AB₁|=10，|OP|=

|AB1|

2

=5，
此時(shí)所求變?yōu)榍笄蛲庖稽c(diǎn)至球面上一點(diǎn)的距離；顯然當(dāng)C₁，P，O三點(diǎn)共線時(shí)|C₁O|最大，
∵在直角三角形C₁B₁P，線段|C₁P|為斜邊（點(diǎn)C₁至球心P的距離），
∴|C1P| =5

2

，
∴|C₁O|_max=|C₁P|+|OP|=5

2

+5．
故答案為：5

2

+5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域，難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化為球外一點(diǎn)至球面上一點(diǎn)的距離，顯然最大時(shí)必過(guò)球心，是難題．