【題目】如圖在四面體中,
是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,
為直角三角形,其中
為直角頂點(diǎn),
.
分別是線段
上的動(dòng)點(diǎn),且四邊形
為平行四邊形.
(1)求證:平面
,
平面
;
(2)試探究當(dāng)二面角從0°增加到90°的過(guò)程中,線段
在平面
上的投影所掃過(guò)的平面區(qū)域的面積;
(3)設(shè),且
為等腰三角形,當(dāng)
為何值時(shí),多面體
的體積恰好為
?
【答案】(1)見解析 (2) (3)
【解析】
(1)先通過(guò)線面平行的判定定理,證得平面
,通過(guò)線面平行的性質(zhì)定理,證得
,由此證得
平面
;同理證得
平面
.
(2)畫出為
、
時(shí)
的投影,由此判斷出線段
在平面
上的投影所掃過(guò)的平面區(qū)域,進(jìn)而求得區(qū)域的面積.
(3)先求得三棱錐的面積為
,通過(guò)分割的方法,得到
,分別求得
與
的關(guān)系式,再由
列方程,解方程求得
的值.
(1)∵四邊形為平行四邊形,
∴.而
面
,
面
,
∴面
.而
面
,面
面
,
∴∥
.而
面
,
面
,
∴∥平面
.同理,
∥平面
;
(2)∵,
∴在平面
上的投影滿足
,即
在線段
的中垂線上.
如圖所示,將補(bǔ)成邊長(zhǎng)為
的正
,
當(dāng)二面角為
角時(shí),即點(diǎn)
在平面
上,此時(shí)
為
,
當(dāng)二面角為
角時(shí),此時(shí)
為
中點(diǎn)
,
故在平面
上的投影所掃過(guò)的平面區(qū)域?yàn)?/span>
,而
,
故線段在平面
上的投影所掃過(guò)的平面區(qū)域的面積為
;
(3)∵,
,且
為等腰三角形,∴
.
取中點(diǎn)
,易得:
,
,
,
滿足:,根據(jù)勾股定理可知
.
∴平面
.∴
.
而多面體的體積恰好為
,即多面體
的體積恰為四面體
體積的一半.
連接.
,∴
.
,∴
.
∴,
∴,整理:
,即
,
解得:(
舍去).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,函數(shù)
.
(1)若函數(shù)在
上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(2)用反證法證明:函數(shù)不可能為
上的單調(diào)函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格和房屋的面積
的數(shù)據(jù):
房屋面積( | 115 | 110 | 80 | 135 | 105 |
銷售價(jià)格(萬(wàn)元) | 24.8 | 21.6 | 18.4 | 29.2 | 22 |
(1)畫出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖;
(2)求線性回歸方程,并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線;
(3)據(jù)(2)的結(jié)果估計(jì)當(dāng)房屋面積為150時(shí)的銷售價(jià)格.附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖兩個(gè)同心球,球心均為點(diǎn),其中大球與小球的表面積之比為3:1,線段
與
是夾在兩個(gè)球體之間的內(nèi)弦,其中
兩點(diǎn)在小球上,
兩點(diǎn)在大球上,兩內(nèi)弦均不穿過(guò)小球內(nèi)部.當(dāng)四面體
的體積達(dá)到最大值時(shí),此時(shí)異面直線
與
的夾角為
,則
( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題正確的是( )
A.經(jīng)過(guò)任意三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.
B.過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與異面直線
垂直.
C.一條直線與一個(gè)平面平行,它就和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行.
D.面與平面
相交,則公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為有限個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為推行“新課堂”教學(xué)法,某化學(xué)老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式,在甲、乙兩個(gè)平行班級(jí)進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn).為了比較教學(xué)效果,期中考試后,分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:記成績(jī)不低于70分者為“成績(jī)優(yōu)良”.
分?jǐn)?shù) | |||||
甲班頻數(shù) | 5 | 6 | 4 | 4 | 1 |
乙班頻數(shù) | 1 | 3 | 6 | 5 | 5 |
(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”?
甲班 | 乙班 | 總計(jì) | |
成績(jī)優(yōu)良 | |||
成績(jī)不優(yōu)良 | |||
總計(jì) |
附:,其中
.
臨界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 |
(2)現(xiàn)從上述40人中,學(xué)校按成績(jī)是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行考核.在這8人中,記成績(jī)不優(yōu)良的乙班人數(shù)為,求
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示, 是海面上一條南北方向的海防警戒線,在
上點(diǎn)
處有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn),另兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)
分別在
的正東方向
處和
處.某時(shí)刻,監(jiān)測(cè)點(diǎn)
收到發(fā)自目標(biāo)
的一個(gè)聲波,
后監(jiān)測(cè)點(diǎn)
后監(jiān)測(cè)點(diǎn)
相繼收到這一信號(hào),在當(dāng)時(shí)的氣象條件下,聲波在水中的傳播速度是
.
(1)設(shè) 到
的距離為
,用
分別表示
到
的距離,并求
的值;
(2)求目標(biāo) 的海防警戒線
的距離(精確到
).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(
,且
)是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù).
(1)求t的值;
(2)若,求使不等式
對(duì)一切
恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)
,是否存在正數(shù)m(
),使函數(shù)
在
上的最大值為0,若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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