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          已知函數(shù)f(x)=x+
          m
          x
          ，且此函數(shù)圖象過點（1，5）．
          （1）求實數(shù)m的值并判斷f（x）的奇偶性；
          （2）判斷函數(shù)f（x）在（0，2）上的單調性，并用定義證明你的結論．
          （3）解關于實數(shù)x的不等式f(
          		2-2x
          )＜5          ．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）把（1，5）代入函數(shù)f（x），可求得m=4，利用奇偶性的定義，即可得到結論；
          （2）函數(shù)在（0，2）上單調減，利用單調性的定義證明，取值，作差，變形，定號下結論；
          （3）不等式f(
          		2-2x
          )＜5          ，等價于f(
          		2-2x
          )＜          f（1），由（2）知
          		2-2x
          ＞1          ，從而可得不等式的解集．
          解答：解：（1）把（1，5）代入函數(shù)f（x）得f（1）=1+m=5，解得m=4
          ∴f(x)=x+
          4
          x

          ∵f(-x)=-x+
          4
          -x
          =-f（x）
          ∴f（x）是奇函數(shù)；
          （2）函數(shù)在（0，2）上單調減，證明如下：
          取0＜x1＜x2＜2，則f（x2）-f（x1）=（x2+
          4
          x2
          ）-（x1+
          4
          x1
          ）=（x2-x1）+4（
          1
          x2
          -
          1
          x1
          ）=（x2-x1）（1-
          4
          x1x2
          ）
          因為0＜x1＜x2＜2，所以x1x2＜4，∴1-
          4
          x1x2
          ＜0，x2-x1＞0，所以f（x2）-f（x1）＜0
          ∴f（x1）＞f（x2）
          ∴函數(shù)在（0，2）上單調減
          （3）不等式f(
          		2-2x
          )＜5          ，等價于f(
          		2-2x
          )＜          f（1），由（2）知
          		2-2x
          ＞1
          ∴2-2x＞1
          ∴2x＜1
          ∴x＜0
          ∴不等式的解集為（-∞，0）
          點評：本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的奇偶性與單調性，考查解不等式，正確運用定義是關鍵．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
          （1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
          （2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2，x∈(0，+∞)          ，其中0＜a＜b．
          （1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
          （2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
          （3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
          求證：f1(x)+f2(x)＞
          4c2
          k(k+c)
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題
				題型：022
			
          

						
          

          已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．
          

          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：上海模擬
				題型：解答題
			
          

						
          已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2，x∈(0，+∞)          ，其中0＜a＜b．
          （1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
          （2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
          （3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
          求證：f1(x)+f2(x)＞
          4c2
          k(k+c)
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版）
				題型：選擇題
			
          

						
          已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
          A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
          B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
          C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
          D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)
          

			
          

			
          
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