Question

（理）設(shè)函數(shù)f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a＞-2，且函數(shù)f（x）的最小值為2，求a的值；
（3）若a≥2，不等式f（x）≥ab²恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）a=2時(shí)，，…（2分）
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（-∞，1]． …（6分）
（2），…（8分）
∵a＞-2，∴，
當(dāng)a≥2時(shí)，函數(shù)y=f（x）的最小值為f（1）=a-1=2，解得a=3符合題意； …（10分）
當(dāng)-2＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=f（x）的最小值為，無(wú)解；
綜上，a=3． …（12分）
（3）由（2）知，當(dāng)a≥2時(shí)函數(shù)y=f（x）的最小值為f（1）=a-1，
所以a-1≥ab²（a≥2）恒成立，令g（a）=a（b²-1）+1（a≥2），…（14分）
有：，故． …（16分）
分析：（1）利用絕對(duì)值的幾何意義，將函數(shù)寫出分段函數(shù)，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)a＞-2，分類討論，確定函數(shù)的最小值，利用函數(shù)f（x）的最小值為2，可求a的值；
（3）利用（2）的結(jié)論，問(wèn)題等價(jià)于a-1≥ab²（a≥2）恒成立，構(gòu)造以a為參數(shù)的函數(shù)，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．