Question

已知橢圓C：()經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，橢圓C上一點(diǎn)M滿(mǎn)足．求證：為定值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）①若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，此時(shí)．同理，若點(diǎn)A、B是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M在橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)，此時(shí)
．②若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為（），
則直線(xiàn)OM的方程為，設(shè)，，由解得，，∴，同理，所以，為定值． 13分

解析試題分析：（Ⅰ）將與代入橢圓C的方程，

得解得，．
∴橢圓的方程為．   6分
（Ⅱ）由，知M在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
①若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，此時(shí)
．
同理，若點(diǎn)A、B是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M在橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)，此時(shí)
．
②若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為（），
則直線(xiàn)OM的方程為，設(shè)，，
由解得，，
∴，同理，
所以，
故為定值．   13分
考點(diǎn)：橢圓方程及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng)：求橢圓方程采用的待定系數(shù)法，第二問(wèn)中要證明式子結(jié)果是定值首先需求出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條件可知這三點(diǎn)坐標(biāo)教容易求出，因此只需聯(lián)立方程求解即可