Question

（2006•西城區(qū)一模）橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)的焦點(diǎn)在x軸上，其右頂點(diǎn)關(guān)于直線x-y+4=0的對稱點(diǎn)在橢圓的左準(zhǔn)線上．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過橢圓左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交橢圓左準(zhǔn)線于點(diǎn)C．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OA

+

OC

=2

OB

，求△OAB的面積．

Answer 1

分析：（I）利用軸對稱的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出；
（II）把直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量運(yùn)算及其相等即可得出．

解答：解：（I）橢圓的右頂點(diǎn)為（2，0）．
設(shè)（2，0）關(guān)于直線x-y+4=0的對稱點(diǎn)為（x₀，y₀），則

x0+2 2 - y0 2 +4=0 y0 x0-2 =-1

解得：x₀=-4
所以

a2

c

=

4

c

=4，c=1
則b=

3

，所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-4，y₃）
由

3x2+4y2=12 y=k(x+1)

得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
所以x1+x2=

-8k2

3+4k2

＜1＞x1x2=

4k2-12

3+4k2

＜2＞．
∵

OA

+

OC

=2

OB

，即（x₁，y₁）+（-4，y₃）=2（x₂，y₂）
∴2x₂-x₁=-4＜3＞．
由＜1＞＜3＞得：x2=-

4+8k2

3+4k2

，x1=

4

3+4k2

代入＜2＞得：-

4+8k2

3+4k2

•

4

3+4k2

=

4k2-12

3+4k2

整理得：4k⁴-k²-5=0．
∴k2=

5

4

∴x1=

1

2

，x2=-

7

4

．
由于對稱性，只需求k=

5

2

時，△OAB的面積，
此時，y1=

3

4

5

，y2=-

3

8

5

∴S△OAB=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

9

16

5

．

點(diǎn)評：熟練掌握軸對稱的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為把直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量運(yùn)算及其相等等是解題的關(guān)鍵．