Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意n∈N^*，滿足關(guān)系S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，總有T_n＜2；
（Ⅲ）在正數(shù)數(shù)列{c_n}中，設(shè)，求數(shù)列{lnc_n}中的最大項(xiàng)

Answer 1

（Ⅰ）解：∵S_n=2a_n-2（n∈N^*），①∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2，n∈N^*）②（1分）
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1．（n≥2，n∈N^*）∵a_n≠0，∴（n≥2，n∈N^*）
即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．（3分）∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2．∴a_n=2ⁿ．（n∈N^*）（5分）
（Ⅱ）證明：∵對(duì)任意正整數(shù)n，總有（6分）
∴=＜2（9分）
（Ⅲ）解：由（c_n）ⁿ⁺¹=a_n+1（n∈N^*）知lnc_n=
令
∵在區(qū)間（0，e）上，f'（x）＞0，在區(qū)間（e，+∞）上，f'（x）＜0．
在區(qū)間（e，+∞）上f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．（12分）
∴n≥2且n∈N^*時(shí)，|lnc_n|是遞減數(shù)列．
又（14分）
分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-2（n∈N^*），知S_n-1=2a_n-1-2（n≥2，n∈N^*），所以a_n=2a_n-2a_n-1．（n≥2，n∈N^*），由此可知a_n=2ⁿ．（n∈N^*）．
（Ⅱ）對(duì)任意正整數(shù)n，總有由此可知=＜2．
（Ⅲ）由（c_n）ⁿ⁺¹=a_n+1（n∈N^*）知lnc_n=令再由函數(shù)的單調(diào)性可求出數(shù)列{lnc_n}中的最大項(xiàng)
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘隱含條件．