Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx（a∈R），則下列說法正確的是 ①當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)；
②若函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)，則a＜0；
③存在a＞0，函數(shù)y=f（x）有唯一的零點(diǎn)；
④若函數(shù)y=f（x）有唯一的零點(diǎn)，則a≤1．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：令f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx=0，則2a（x+lnx）=x2 ， ∴2a= ，令g（x）= ，
則g′（x）= =
令h（x）=x+lnx，通過作出兩個(gè)函數(shù)y=lnx及y=﹣x的圖像（如下圖）

發(fā)現(xiàn)h（x）有唯一零點(diǎn)在（0，1）上，
設(shè)這個(gè)零點(diǎn)為x0 ， 當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，x=x0是漸近線，
當(dāng)x∈（x0 ， 1）時(shí)，g′（x）＜0，則g（x）在（x0 ， 1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（1）=1，可以作出g（x）= 的大致圖像，

結(jié)合圖像可知，當(dāng)a＜0時(shí)，y=2a與y=g（x）的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，
則函數(shù)y=f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；
若函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)，則a＜0或a≥ ，故選項(xiàng)B不正確；
存在a= ＞0，函數(shù)y=f（x）有唯一零點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；
若函數(shù)y=f（x）有唯一零點(diǎn)，則a＜0，或a= ，則a≤1，故選項(xiàng)D正確．
所以答案是：①③④．