Question

一個(gè)袋子里裝有大小相同，且標(biāo)有數(shù)字1～5的若干個(gè)小球，其中標(biāo)有數(shù)字1的小球有1個(gè)，標(biāo)有數(shù)字2的小球有2個(gè)，…，標(biāo)有數(shù)字5的小球有5個(gè)．
（Ⅰ）從中任意取出3個(gè)小球，求取出的小球都標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字的概率；
（Ⅱ）從中任意取出2個(gè)小球，求小球上所標(biāo)數(shù)字之和為6的概率；
（Ⅲ）設(shè)任意取出的1個(gè)小球上所標(biāo)數(shù)字為ξ，求Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件從中任意取出3個(gè)小球，共有C₁₅³種結(jié)果，標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字的小球共有2+4個(gè)，根據(jù)等可能事件的概率得到結(jié)果．
（Ⅱ）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從中任意取出2個(gè)小球，共有C₁₅²種結(jié)果，滿足條件的事件是2個(gè)小球上所標(biāo)數(shù)字之和為6有三種情況，即（1，5），（2，4），（3，3）．這三種情況是互斥的，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．
（Ⅲ）任意取出的1個(gè)小球上所標(biāo)數(shù)字為ξ，ξ的可能取值是1，2，3，4，5，結(jié)合變量對應(yīng)的事件，根據(jù)等可能事件的概率，寫出變量的概率，寫出分布列和期望．

解答：解：袋子里共裝有1+2+3+4+5=15個(gè)小球．
（Ⅰ）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是C₁₅³，
標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字的小球共有2+4=6個(gè)，
∴取出的3個(gè)小球全標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字的概率為P=

C 3 6

C 3 15

=

4

91

．

（Ⅱ）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從中任意取出2個(gè)小球，共有C₁₅²種結(jié)果，
滿足條件的事件是2個(gè)小球上所標(biāo)數(shù)字之和為6有三種情況，即（1，5），（2，4），（3，3）．
這三種情況是互斥的，
∴概率P=

C 1 1 C 1 5 + C 1 2 C 1 4 + C 2 3

C 2 15

=

16

105

．

（Ⅲ）任意取出的1個(gè)小球上所標(biāo)數(shù)字為ξ，ξ的可能取值是1，2，3，4，5，由題意知
P（ξ=1）=

1

15

；P（ξ=2）=

2

15

P（ξ=3）=

3

15

；P（ξ=4）=

4

15

P（ξ=5）=

5

15

∴取出的小球上所標(biāo)數(shù)字的分布列為

∴Eξ=1×

1

15

+2×

2

15

+3×

3

15

+4×

4

15

+5×

5

15

=

55

15

=

11

3

．

點(diǎn)評：本題可選離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查互斥事件的概率，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題，是一個(gè)綜合題目．