Question

【題目】如圖，設(shè)拋物線 ： 的準(zhǔn)線 與 軸交于橢圓 ： 的右焦點(diǎn) ， 為 的左焦點(diǎn)．橢圓的離心率為 ，拋物線 與橢圓 交于 軸上方一點(diǎn) ，連接 并延長(zhǎng)交 于點(diǎn) ， 為 上一動(dòng)點(diǎn)，且在 ， 之間移動(dòng)．

（1）當(dāng) 時(shí)，求 的方程；

（2）若 的邊長(zhǎng)恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)。求到直線距離的最大值以及此時(shí) 的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為，此時(shí).

【解析】

(1)根據(jù)題意得到，，則 ，，因?yàn)?/span> ,從而求出參數(shù)值，進(jìn)而得到方程；（2）聯(lián)立橢圓和拋物線得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，由橢圓定義得到，，，又 的邊長(zhǎng)恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，所以 ，此時(shí)聯(lián)立直線PQ和拋物線方程求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)得到直線 的距離為 ，則 ，結(jié)合二次函數(shù)的特點(diǎn)得到最值.

（1） 因?yàn)?，，則 ，，因?yàn)?，所以，，

所以橢圓 的方程為 ．

（2） 因?yàn)?，，則 ，，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，，，由 得 ，

所以 或 （舍去），代入拋物線方程得 ，

即 ，于是 ，，，

又 的邊長(zhǎng)恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，所以 ．

此時(shí)拋物線方程為 ，，，

則直線 的方程為 ，

聯(lián)立

得 或 （舍去），

于是 ，

所以 ，

設(shè) 到直線 的距離為 ，則 ，

當(dāng) 時(shí)，，此時(shí)