Question

給出如下的四個命題：
①?x∈(0，

π

2

)，使sinx+cosx=

1

3

；
②當x∈（0，1）時，lnx+

1

lnx

≤-2；
③存在區(qū)間（a，b），使得y=cosx是減函數(shù)，且sinx＜0；
④函數(shù)g（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＞-

1

a

}．
其中所有正確命題的序號是

 

． （注：把你認為所有真命題的序號都填上）

Answer 1

分析：本題考查的知識點是，判斷命題真假，比較綜合的考查了三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)，我們可以根據(jù)三角函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對四個結論逐一進行判斷，可以得到正確的結論．

解答：解：y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，當x∈(0，

π

2

)時，1≤y≤

2

，故①不正確
當x∈（0，1），lnx≤0，則由基本不等式可得lnx+

1

lnx

≤-2成立，即②正確
若sinx＜0，則x∈（2kπ-π，2kπ），k∈Z，而此時y=cosx是增函數(shù)，故③錯誤
當a＞0時，函數(shù)g（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＞-

1

a

}．
當a=0時，函數(shù)g（x）=lg（ax+1）的定義域是R
當a＜0時，函數(shù)g（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＜-

1

a

}故④錯誤
故答案為：②

點評：y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)是我們求三角函數(shù)值域時，最常用的公式，本題中對x的范圍有限制，故要結合自變量的取值范圍，進行判斷，最后不難得到正確的結論．