Question

如圖所示，橢圓的離心率為，且A（0，2）是橢圓C的頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A作斜率為1的直線l，設(shè)以橢圓C的右焦點(diǎn)F為拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，若點(diǎn)M為拋物線E上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線l距離的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知，b的值，再根據(jù)橢圓的離心率求得a值，從而得出橢圓C的方程即可；
（2）由（1）可求得橢圓C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)從而求得拋物線E的方程，而直線l的方程為x-y+2=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)M到直線l的距離的函數(shù)表達(dá)式，最后利用求二次函數(shù)最小值的方法即可求出拋物線E上的點(diǎn)到直線l距離的最小值．
解答：解：（1）由題意可知，b=2（11分）
∵
即，∴a²=5（3分）
∴所以橢圓C的方程為：．（4分）
（2）：由（1）可求得橢圓C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0）（6分）
∴拋物線E的方程為：y²=4x，
而直線l的方程為x-y+2=0
設(shè)動(dòng)點(diǎn)M為，
則點(diǎn)M到直線l的距離為（8分）
．（13分）
即拋物線E上的點(diǎn)到直線l距離的最小值為．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系、拋物線的方程等．考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題．要能較好的解決橢圓問(wèn)題，必須熟練把握好橢圓方程中的離心率、長(zhǎng)軸、短軸、標(biāo)準(zhǔn)線等性質(zhì)．