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        1. 如圖所示,橢圓的離心率為,且A(0,1)是橢圓C的頂點.
          (1)求橢圓C的方程;
          (2)過點A作斜率為1的直線l,在直線l上求一點M,使得以橢圓C的焦點為焦點,且過點M的雙曲線E的實軸最長,并求此雙曲線E的方程.

          【答案】分析:(1)根據(jù)A(0,1)是橢圓C的頂點得a值,根據(jù)離心率為,求出b值,從而求橢圓C的方程;
          (2)欲求雙曲線E的方程,只須求出其實軸長即可,而要使雙曲線E的實軸最長,只需||MF1|-|MF2||最大即可,根據(jù)對稱性知,直線F2F1′與直線l的交點即為所求的點M即能使||MF1|-|MF2||最大,從而問題解決.
          解答:解:(1)由題意可知,b=1(1分)
          ∵e=
          ∴a2=5(3分)
          ∴所以橢圓C的方程為:(4分)
          (2)設橢圓C的焦點為F1,F(xiàn)2,
          則可知F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),
          直線l方程為:x-y+1=0(6分)
          因為M在雙曲線E上,所以要使雙曲線E的實軸最長,
          只需||MF1|-|MF2||最大.
          又∵F1(-2,0)關于直線l:x-y+1=0的對稱點為F′1(-1,-1),
          則直線F2F1′與直線l的交點即為所求的點M(9分)
          ∵直線F2F1′的斜率為k=,其方程為:y=(x-2)
          解得
          ∴M(-,-)(12分)
          又2a′=||MF1|-|MF2||=||MF1′|-|MF2||≤|F2F1′|==
          ∴a′max=,此時b′=,
          故所求的雙曲線方程為=1.(14分)
          點評:本題主要考查了橢圓的標準方程、雙曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題.直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn),主要涉及位置關系的判定,弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等   突出考查了數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉化等數(shù)學思想方法.
          練習冊系列答案
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          (1)求橢圓C的方程;

          (2)過點A作斜率為1的直線,設以橢圓C的右焦點F為拋物線的焦點,若點M為拋物線E上任意一點,求點M到直線距離的最小值。

           

           

           

           

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