Question

【題目】(導(dǎo)學(xué)號：05856263)

已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線與x軸交于點N，過點N作圓M：(x－2)2＋y2＝1的兩條切線，切點為P、Q，且|PQ|＝.

(Ⅰ)求拋物線的方程；

(Ⅱ)過拋物線的焦點F作斜率為k1的直線與拋物線交于A、B兩點，A、B兩點的橫坐標均不為2，連接AM，BM并延長分別交拋物線于C、D兩點，設(shè)直線CD的斜率為k2，問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y2＝4x ，(2) 定值2

【解析】試題分析：（1）求得拋物線的準線方程，可得N的坐標，圓M的圓心和半徑，可得四點N，P，M，Q共圓，且MN為直徑，設(shè)為2R，在△PMQ中，運用余弦定理和正弦定理，可得2R=3，求得p=2，即可得到拋物線的方程；

（2）求得拋物線y2=4x的焦點為F（1，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），運用直線的斜率公式，求得k1，k2，及，設(shè)出直線AC，BD和AB的方程，聯(lián)立拋物線的方程，運用韋達定理，計算即可得到定值2．

試題解析：

(Ⅰ)由已知得N(－，0)，M(2,0)．設(shè)PQ與x軸交于點R，由圓的對稱性可知，|PR|＝.

于是|MR|＝＝.

由△PNM∽△RPM得＝，

∴|NM|＝3，即2＋＝3，p＝2.

故拋物線的方程為y2＝4x.

(Ⅱ)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，

則k1＝＝＝，

同理k2＝.

設(shè)AC所在直線的方程為x＝ty＋2，

與y2＝4x聯(lián)立，得y2－4ty－8＝0，所以y1y3＝－8，同理y2y4＝－8，

所以k2＝＝(－)·.

設(shè)AB所在直線的方程x＝my＋1與y2＝4x聯(lián)立，

得y2－4my－4＝0，所以y1y2＝－4，

所以k2＝(－)·＝，所以＝2，即為定值2.