Question

已知函數(shù)f(x)=

1+lnx

x

（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(

a

2

，a+

1

2

)上存在極值，其中a＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）設(shè)g(x)=xf(x)+bx-1+ln(2-x

)

(b＞0)，若g（x）在（0，1]上的最大值為

1

2

，求實(shí)數(shù)b的值．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，設(shè)為x₀，則x0∈(

a

2

，a+

1

2

)，由此可得a的范圍；
（2）寫(xiě)出g（x）的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）在（0，1]上的最大值，使其等于

1

2

，即可求得b值；

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，f′(x)=-

lnx

x2

，
令f′(x)=-

lnx

x2

=0，解得x=1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）在x=1處取極大值，
因?yàn)閒（x）在區(qū)間(

a

2

，a+

1

2

)上存在極值，所以

a

2

＜1＜a+

1

2

，解得

1

2

＜a＜2，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

1

2

，2）．
（2）g（x）=xf（x）+bx-1-ln（2-x）=bx+lnx-ln（2-x），
∵b＞0，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，g′（x）=b+

2

x(2-x)

＞0，
所以g（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
故g（x）在（0，1]上的最大值為g（1）=b，
因此b=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，準(zhǔn)確求導(dǎo)，熟知導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值的關(guān)系是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)．