Question

（2008•鎮(zhèn)江一模）已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x²-2alnx．
（1）求f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；
（2）若a＞0，試證明：“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要條件是“a=

1

2

”．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；
（2）分必要性與充分性進(jìn)行論證，正確構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，將方程f（x）=2ax有唯一解，轉(zhuǎn)化為g（x）=0有唯一解，即可得證．

解答：（1）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=2•

x2-a

x

（x＞1）
①a≤1，x＞1，則f′（x）＞0，∴f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴f（x）_min=f（1）=1；
②a＞1，x＞1，令f′（x）=0，可得x=

a

當(dāng)x∈(1，

a

)時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)在[1，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)x∈(

a

，+∞)時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴x=

a

時(shí)，f（x）_min=a-alna
∴g(a)=

1，a≤1 a-alna，a＞1

；
（2）證明：記g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，則g′(x)=

2

x

(x2-ax-1) 
①充分性：若a=

1

2

，則g（x）=x²-lnx-x，g′(x)=

1

x

(2x+1)(x-1)
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）_min=g（1）=0，即g（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
∴方程f（x）=2ax有唯一解；
②必要性：若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解，令g′（x）=0，可得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，∴x1=

a+ a2+4a

2

（另一根舍去）
當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₁）上是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（x₁，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
∴當(dāng)x=x₂時(shí)，g′（x₁）=0，g（x）_min=g（x₁），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₁）=0，
∴

g(x1)=0 g′(x1)=0

∴

x12-2alnx1-2ax1=0 x12-ax1-a=0

∴2alnx₁+ax₁-a=0
∵a＞0
∴2lnx₁+x₁-1=0
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1
∵x＞0時(shí)，h（x）是增函數(shù)，∴h（x）=0至多有一解．
∵h(yuǎn)（1）=0，∴方程2lnx₁+x₁-1=0的解為x₁=1，即x1=

a+ a2+4a

2

=1，∴a=

1

2

由①②知，“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要條件是“a=

1

2

”．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查充要性的證明，考查分類討論是數(shù)學(xué)思想，難度大．