Question

（2009•海淀區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD的頂點都在橢圓

x2

6

+

y2

3

=1上，對角線AC、BD互相垂直且平分于原點O．
（I）若點A在第一象限，直線AB的斜率為1，求直線AB的方程；
（II）求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=x+b．因為四邊形ABCD的頂點都在橢圓

x2

6

+

y2

3

=1上，所以

y=x+b x2+2y2=6

，△=16b²-12（2b²-6）=8（9-b²）＞0，再由韋達定理結(jié)合題設(shè)條件能求出直線AB的方程．
（II）①若直線AB⊥x軸，設(shè)其方程為x=x₀，此時易知直線AC、BD的方程分別為y=x，y=-x，且四邊形ABCD是正方形，由此能求出四邊形ABCD的面積S=（2x₀）²=4x₀²=8．
②若直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

y=kx+m x2+2y2=6

，所以（2k²+1）x²+4kmx+2m²-6=0，由此能夠推導(dǎo)出S_min=8．綜上所述，四邊形ABCD面積的最小值為8．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為y=x+b…（1分）
∵四邊形ABCD的頂點都在橢圓

x2

6

+

y2

3

=1上
∴

y=x+b x2+2y2=6

，
∴x²+2（x+b）²=6，
即3x²+4bx+2b²-6=0
則△=16b²-12（2b²-6）=8（9-b²）＞0…（2分）
x1+x2=-

4b

3

，x1x2=

2b2-6

3

…（3分）
∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=

2b2-6-4b2

3

+b2=

b2-6

3

，
又OA⊥OB，所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0…（4分）
∴

3b2-12

3

=0
∴b²=4，b=±2…（5分）
∵A點在第一象限，
∴b=-2．
所以直線AB的方程為y=x-2…（6分）
（II）①若直線AB⊥x軸，設(shè)其方程為x=x₀，
此時易知直線AC、BD的方程分別為y=x，y=-x，
且四邊形ABCD是正方形，
則A（x₀，x₀），B（x₀，-x₀），

x02

6

+

x02

3

=1，x₀²=2，
四邊形ABCD的面積S=（2x₀）²=4x₀²=8…（8分）
②若直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

y=kx+m x2+2y2=6

，
∴x²+2（kx+m）²=6，
即（2k²+1）x²+4kmx+2m²-6=0…（9分）
則△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-6）
=8[2k²m²-（2k²m²+m²-6k²-3）]
=8（6k²+3-m²）＞0，
x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-6

2k2+1

…（10分）
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

k2(2m2-6)-4k2m2+2k2m2+m2

2k2+1

=

m2-6k2

2k2+1

又OA⊥OB，所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

2m2-6+m2-6k2

2k2+1

=

3m2-6k2-6

2k2+1

=0
∴m²=2k²+2…（11分）
所以|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

8(6k2+3-m2)

2k2+1

=

1+k2

•

8(6k2+3-2k2-2)

2k2+1

=2

2

•

1+k2

•

4k2+1

2k2+1

直角三角形OAB斜邊AB上的高h=

|m|

1+k2

所以S△OAB=

1

2

h|AB|=

2

•

m2(4k2+1)

2k2+1

=

2

•

(2k2+2)(4k2+1)

2k2+1

=2

4k4+5k2+1 4k4+4k2+1

=2

1+ k2 (2k2+1)2

≥2，…（13分）
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時取得此最小值，此時S_min=8…（14分）
綜上所述，四邊形ABCD面積的最小值為8．

點評：通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．本題對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．